em mới lớp 7 nên không rành lắm về bất đẳng thức ạ :((

Ta có :\(a.b=1< =>a=\frac{1}{b}\)

Áp dụng bất đẳng thức : 

Ta được \(A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)

\(\ge\left(a+b+1\right)\left(2ab\right)+\frac{4}{a+b}\)

\(=\left(a+b+1\right).2+\frac{4}{a+b}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm 

\(2\left(a+b+1\right)+\frac{4}{a+b}\ge2\sqrt[2]{\left[2\left(a+b\right)+2\right].\frac{4}{a+b}}\)

\(=2\sqrt[2]{\frac{8\left(a+b\right)+8}{a+b}}=2\sqrt[2]{\frac{8\left(\frac{1}{b}+b\right)+8}{\frac{1}{b}+b}}\left(+\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm :

\(\frac{1}{b}+b\ge2\sqrt[2]{\frac{1}{b}.b}=2\)

Khi đó \(\left(+\right)< =>2\sqrt[2]{\frac{8.2+8}{2}}=2\sqrt[2]{12}=\sqrt[2]{48}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1\)

Vậy \(Min_A=\sqrt{48}\)khi \(a=b=1\)

câu hỏi ko tl cx thấy xàm xàm xàm xmà

Vì (a-b)² \(\ge\)0 \(\forall\)a,b\(\Rightarrow\)a²+b² \(\ge\)2ab. Mà ab=4\(\Rightarrow\)a²+b² \(\ge\)8.

\(\Rightarrow\)P=\(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)\(\ge\)\(\frac{\left(a+b-2\right).8}{a+b}\)

Đặt t=a+b\(\Rightarrow\)t\(\ge\)4 (Do a+b \(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)= 4)

\(\Rightarrow\)P=\(\frac{\left(t-2\right).8}{t}\) = \(\frac{8t-16}{t}\)=\(8-\frac{16}{t}\) 

Vì t\(\ge\)4 \(\Rightarrow\)\(\frac{16}{t}\le\frac{16}{4}=4\)\(\Rightarrow-\frac{16}{t}\ge-4\)\(\Rightarrow\left(8-\frac{16}{t}\right)\ge8-4=4\)

\(\Rightarrow P\ge4.\)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=b\\a.b=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)

Vậy P min = 4 \(\Leftrightarrow\)a=b=2.

gtnn=4 dok pn k nka. đảm bảo đúg lun mjk vừa làm xog

Bạn nhân hai biểu thức rồi dùng bất đẳng thức cô-si.suy ra min=4 

a+b=2=> a=2-b

\(\Rightarrow\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\left(\frac{b^2-4}{b^2}\right)=\frac{\left(2-b\right)^2-4}{\left(2-b\right)^2}.\frac{b^2-4}{b^2}\)

=\(\frac{b^2-2b-8}{b^2-2b}\)

đặt A=\(\frac{b^2-2b-8}{b^2-2b}\)

đkxđ \(\hept{\begin{cases}b\ne0\\b\ne2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow Ab^2-2bA=b^2-2b-8\)

\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)b^2-2\left(A-1\right)b+8=0\)

nếu A=1 => 8=0 (vô lý) 

nếu A khác 1 pt có nghiệm khi \(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left[-2\left(A-1\right)\right]^2-4\left(A-1\right).8\ge0\)

\(4A^2-40A+36\ge0\Leftrightarrow A^2-10A+9\ge0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}A\le1\\A\ge9\end{cases}}\)

GTNN A=9 dấu "=" <=> a=b=1 

bạn ơi mình đặt nhầm B thành A rồi bn tự sửa lại nhé!

\(B=\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\left(1-\frac{2}{a}\right)\left(1-\frac{2}{b}\right)\left(1+\frac{2}{a}\right)\left(1+\frac{2}{b}\right)\)

\(=\frac{\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{a^2b^2}=\frac{ab.\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{a^2b^2}=\frac{ab+2\left(a+b\right)+4}{ab}=\frac{8}{ab}+1\)

Theo BĐT Cauchy thì : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\) 

Suy ra : \(A\ge\frac{8}{\frac{2^2}{4}}+1=9\).Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2

Vậy ......................................

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 nhé.

a, \(A=\left(\frac{4}{2x+1}+\frac{4x-3}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\right)\frac{x^2+1}{x^2+2}\)

\(=\left(\frac{4\left(x^2+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)}+\frac{4x-3}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\right)\frac{x^2+1}{x^2+2}\)

\(=\left(\frac{4x^2+4+4x-3}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\right)\frac{x^2+1}{x^2+2}\)

\(=\frac{\left(2x+1\right)^2}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\frac{x^2+1}{x^2+2}=\frac{2x+1}{x^2+2}\)